양자 얽힘의 정체는 중학교 인수분해였다 — 물리의 정석 양자역학 편 독후감

왜 이 책을 읽게 됐나#

어릴 때부터 궁금했습니다. 세상은 대체 무엇으로 이루어져 있을까. 별은 왜 빛나고, 물은 왜 아래로 흐르고, 나는 왜 여기 있는 걸까.

그 호기심이 중고등학교 시절 물리 경시대회 출전으로 이어졌습니다. 그리고 대학 진로를 선택할 때는 현실적인 판단을 했습니다. 이론물리는 진정한 재능의 영역입니다. 저는 그 세계의 주인공이 되기보다, 이론이 만들어낸 것들을 활용해 무언가를 만드는 사람이 되고 싶었습니다. 그렇게 공대로 왔습니다.

그렇다고 순수한 호기심이 사라진 건 아니었습니다. 다만 양자역학에 관해서는 늘 막혀 있었습니다. 인터넷에 검색하면 나오는 건 두 종류뿐이었거든요.

하나는 너무 추상적인 비유들. “고양이가 살아있으면서 죽어있다”는 식의 설명은 뭔가 알 것 같은 느낌을 주지만, 사실 아무것도 이해하지 못한 채 고개만 끄덕이게 만듭니다. 다른 하나는 선수과목이 어디서부터인지도 모를 수식들. 브라-켓 표기법, 해밀토니안, 고유값 문제… 첫 페이지에서 포기했습니다.

레너드 서스킨드의 『물리의 정석: 양자역학 편』은 그 정확한 중간 지점에 있었습니다.

수학이 있되, 벽은 아닌 책#

저자는 수식을 완전히 버리지 않습니다. 양자역학의 뼈대는 결국 수학으로 기술되기 때문입니다. 하지만 일반물리와 공대 졸업 수준의 수학, 즉 미적분과 선형대수 정도가 있다면 따라갈 수 있습니다.

솔직히 고백하면, 모든 수식 유도를 완벽하게 따라가며 읽지는 못했습니다. 연습문제까지 전부 풀며 소화하려면 1~2년은 족히 걸릴 것 같았습니다. 그래도 이 책이 주는 건 분명합니다. 양자역학의 근본 개념 구조가 수학적으로 어떻게 생겼는지를, 적절한 깊이로 보여줍니다.

이 글에서도 그 “적절한 깊이”가 어떤 느낌인지 전해지도록, 책에 나오는 수준의 수식을 몇 개만 곁들여 보겠습니다.

세상이 이렇게 생겼다고#

책을 읽으면서 여러 번 멈추게 됐습니다.

인간이 지금까지 밝혀낸 바에 따르면, 세상은 기본입자들의 상호작용으로 이루어져 있고, 그 규칙은 양자역학으로 기술됩니다. 너무 당연하게 들리지만, 이 문장이 실제로 무슨 의미인지를 수식과 함께 마주하는 건 완전히 다른 경험입니다.

특히 인상 깊었던 건 세 가지입니다.

파동함수와 중첩#

책은 스핀이라는 가장 단순한 양자계에서 출발합니다. 위(up)와 아래(down), 딱 두 가지 기본 상태 $|u\rangle$ , $|d\rangle$ 만 있는 세계입니다. 양자역학의 첫 번째 충격은, 입자가 이 둘 중 하나에 있는 게 아니라 둘의 선형 중첩으로 존재한다는 것입니다.

|\psi\rangle = \alpha\,|u\rangle + \beta\,|d\rangle

그리고 측정이라는 행위를 통해 비로소 하나의 값으로 확정되는데, 각 결과가 나올 확률은 그 앞에 붙은 계수(확률 진폭)의 절댓값 제곱입니다.

P(u) = |\alpha|^2, \qquad P(d) = |\beta|^2, \qquad |\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1

중첩 상태가 측정을 통해 하나의 결과로 확정되는 과정

왜 하필 제곱일까요? 책을 다 읽고 나서도 이 물음은 남아 있습니다. 세상은 1승도 3승도 아닌 2승으로 돌아갑니다.

힐베르트 복소공간#

이 모든 것을 복소 힐베르트 공간에서 기술하면 딱 들어맞는다는 사실이 신기했습니다. 위의 $\alpha$ , $\beta$ 는 실수가 아니라 복소수여야 하고, 상태는 $\langle\psi|\psi\rangle = 1$ 로 정규화된 복소 벡터입니다. 관측 가능한 물리량은 그 공간 위의 연산자이고, 측정값은 그 연산자의 고유값입니다.

리만기하학이 일반상대성이론보다 먼저 존재했고, 힐베르트 공간이 양자역학보다 먼저 있었듯, 수학이 세상을 기술하는 게 아니라 세상이 수학으로 생긴 것 같다는 느낌. 이 “터무니없는 유효성”은 책을 덮고 나서도 한동안 따라붙었습니다.

양자 얽힘의 수학적 민낯#

가장 충격적이었던 건 이겁니다. 양자 얽힘은 워낙 기이한 현상이라, 엄청나게 고차원적인 수학의 산물일 거라 막연히 생각했습니다. 그런데 그 수학적 본질은 중학교 때 배우는 인수분해, 즉 두 항의 곱으로 표현 가능하냐 아니냐의 문제와 구조적으로 연결됩니다.

스핀 두 개로 이루어진 계의 일반적인 상태는 이렇게 생겼습니다.

|\Psi\rangle = \psi_{uu}\,|uu\rangle + \psi_{ud}\,|ud\rangle + \psi_{du}\,|du\rangle + \psi_{dd}\,|dd\rangle

이 상태가 “입자 A의 상태 ⊗ 입자 B의 상태”라는 곱으로 인수분해되면, 두 입자는 각자 자기 상태를 가진 평범한 사이입니다. 그런데 어떤 상태는 어떻게 해도 인수분해가 안 됩니다. 대표적인 것이 싱글릿 상태입니다.

|\text{singlet}\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|ud\rangle - |du\rangle\right)

곱으로 풀어 쓸 수 있으려면 $\psi_{uu}\,\psi_{dd} = \psi_{ud}\,\psi_{du}$ 가 성립해야 하는데, 싱글릿은 $\psi_{uu} = \psi_{dd} = 0$ 이면서 $\psi_{ud} = -\psi_{du} \neq 0$ 이라 절대 만족할 수 없습니다. 텐서곱이 분리되지 않는 상태, 그게 곧 얽힘입니다.

곱 상태와 얽힘 상태의 비교: 얽힘 상태는 어떤 곱으로도 인수분해되지 않는다

물론 실제로는 더 복잡하지만 뼈대는 정말로 이렇습니다. 망치로 머리를 맞은 느낌이었습니다. 세상에서 가장 이상한 현상의 씨앗이 이렇게 단순하다니.

이건 공준이지 정리가 아니다#

책을 읽으면서 자꾸 같은 패턴이 눈에 걸렸습니다. 예를 들어 상태가 시간에 따라 어떻게 변하는지를 지배하는 슈뢰딩거 방정식은,

i\hbar\,\frac{\partial}{\partial t}|\psi\rangle = \hat{H}\,|\psi\rangle

무언가로부터 유도된 게 아니라 추측된 공준입니다. 유니타리성(확률의 보존)도 증명된 정리가 아니라 공리입니다. 양자역학의 화려한 결과들 밑에는 “왜 이게 성립하는가”를 묻지 않고 그냥 출발점으로 삼는 가정들이 깔려 있습니다.

이게 실망스러운 사실이 아니라는 걸 책을 통해 이해했습니다. 물리학은 원래 그렇습니다. 가장 근본적인 층위의 법칙은 더 이상 왜냐고 묻기 어렵습니다. 다만 그 가정 위에서 얼마나 많은 것을 설명하고 예측할 수 있느냐가 이론의 힘입니다. 양자역학은 그 기준에서 인류 역사상 가장 성공한 이론입니다.

신비화에 한마디#

책 바깥 이야기를 하나 더 하자면, 양자역학 관련 대중 콘텐츠 중에는 “관측이 곧 의식의 개입”이라거나 “양자 무작위성이 자유의지를 증명한다”는 식의 비약이 많습니다. 이 책은 그런 방향으로 가지 않습니다. 관측에 의식이 필요하지 않다는 것, 어떤 물리적 상호작용이든 측정이 될 수 있다는 것을 수학 구조 자체가 담담히 보여줍니다. 양자역학을 신비주의로 가져가려는 시도에 이 책이 가장 좋은 예방약입니다.

여전히 남는 질문들#

그래도 끝에 남는 물음들이 있습니다. 왜 세계는 양자적인가. 왜 하필 진폭의 제곱인가. 중력은 어떻게 양자역학과 통합되는가. 이 질문들은 이 책의 범위를 벗어나고, 아마 지금의 물리학도 완전히 대답하지 못합니다. 어쩌면 그게 물리학이 아직 살아있다는 증거일 겁니다.

누구에게 권하고 싶은가#

공대를 나왔거나 물리 베이스가 어느 정도 있고, 양자역학이 궁금한데 물리학과 수업을 청강하기엔 부담스러운 분들께 적극 추천합니다. 유사과학적 비유 없이, 수식의 공포 없이, 딱 그 중간 어딘가에서 “아, 이런 구조로 생겼구나”를 느낄 수 있는 책입니다.

세상의 이치가 궁금했던 어린 시절의 저에게도, 지금의 저에게도, 잘 맞는 책이었습니다.

서지 정보#

레너드 서스킨드, 아트 프리드먼 공저 / 『물리의 정석: 양자역학 편』 (The Theoretical Minimum: Quantum Mechanics)